กำหนดการเชิงเส้น 4

การแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้นดดยวิธีใช้กราฟ

การแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้นโดยวิธีการใช้กราฟ

ในการแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้นนั้นต้องเริ่มต้นด้วยการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วย 2 ส่วน คือ
ส่วนที่ 1 ส่วนที่เป็นเป้าหมาย จะอยู่ในรูปของ สมการจุดประสงค์ (ในเอกสารเล่มนี้ใช้ P)ส่วนที่ 2 ส่วนที่เป็นข้อจำกัด จะอยู่ในรูปของ อสมการข้อจำกัด
ซึ่งเป็นการแปลงสถานการณ์ปัญหาให้เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ จากนั้นจึงหาคำตอบของปัญหาด้วยวิธีการต่าง ๆ ในการศึกษาครั้งนี้ใช้การกราฟช่วยในการหาคำตอบ

ข้อกำหนด 1. ถ้ากำหนดการเชิงเส้น มีคำตอบที่เหมาะสมเพียงคำตอบเดียว แล้วคำตอบนั้นจะต้องอยู่ที่จุดหักมุมกราฟ ของระบบอสมการข้อจำกัด 2. ถ้าสมการจุดประสงค์มีค่าน้อยที่สุด หรือมากที่สุด ณ. จุดหักมุม 2 จุดที่มีแขนของจุดหักมุมร่วมกัน  แล้วสมการจุดประสงค์ดังกล่าวจะมีค่าน้อยที่สุด หรือมากที่สุด ณ. จุดทุกจุดบนส่วนของเส้นตรง ที่เชื่อมจุดหักมุม 2 จุดนั้น แสดงว่าคำตอบที่เหมาะสม จะมีจำนวนนับไม่ถ้วน

ลองสมมติให้กราฟของระบบอสมการข้อจำกัด เป็นดังนี้

นำความจริงจากข้อกำหนดมาวิเคราะห์ กราฟของระบบสมการข้อจำกัดดังนี้

1. จุดทุกจุดในบริเวณส่วนที่แรเงาจะสอดคล้องกับระบบอสมการข้อจำกัด ถูกเรียกว่า 
“เซตของคำตอบที่เป็นไปได้”

2. จากเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ เราจะนำไปหาจุดใดที่สดคล้องกับสมการจุดประสงค์ที่ให้ค่าน้อยที่สุด 
หรือค่ามากที่สุดจากกราฟของระบบอสมการข้อจำกัด

3. จุดทุกจุดในบริเวณส่วนที่แรเงา มีโอกาสเป็นไปได้ที่จะทำให้สมการจุดประสงค์มีค่าน้อยที่สุด 
หรือมากที่สุด แต่จุดหักมุมมีโอกาสเป็นไปได้มากกว่า

4. จุดในบริเวณส่วนที่แรเงาที่ทำให้สมการจุดประสงค์มีค่าน้อยที่สุดหรือมากทีสุดถูกเรียกว่า 
คำตอบที่เหมาะสม

5. ถ้ากำหนดการเชิงเส้นมีคำตอบเดียว แล้วจุด A,B,C และ O จุดใดจุดหนึ่ง จะทำให้สมการจุดประสงค์
มีค่าน้อยที่สุด หรือมากที่สุด

6. ถ้าจุด A และ B ทำให้สมการจุดประสงมีค่าน้อยที่สุด แล้ว จุดทุกจุดที่อยู่บนส่วนของเส้นตรง AB จะทำ
ให้สมการจุดประสงค์ มีค่าน้อยที่สุดหรือมากที่สุดด้วย แสดงว่าคำตอบที่เหมาะสมจะมีจำนวนนับไม่ถ้วน

เทคนิคการแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้นโดยวิธีใช้กราฟ

หลักการ

1. ถ้าโจทย์ที่ให้มาเป็นเรื่องราวที่ให้มาเป็นเรื่องราวที่ไม่ได้บอกตัวแปรออกมาตรงๆ เราซึ่งเป็นผู้อ่านโจทย์
จะต้องตั้งตัวแปรให้เป็นปริมาณต่างๆ จากโจทย์และสร้างสมการจุดประสงค์ กับอสมการข้อจำกัด

2. เขียนกราฟของระบบอสมการข้อจำกัด เพื่อแสดงจุดทุกจุดในบริเวณส่วนที่แรเงาที่สอดคล้องกับระบบ
อสมการข้อจำกัด

3. หาจุดหักมุมในบริเวณส่วนที่แรเงา

4. นำจุดหักมุมแต่ละจุดไปแทนค่าในสมการจุดประสงค์

4.1 ถ้าได้ค่าน้อยที่สุด (มากที่สุด) เพียงคำตอบเดียว แล้วค่านั้นคือ ค่าน้อยที่สุด (มากที่สุด) 
ของสมการจุดประสงค์

4.2 ถ้ามีจุดหักมุม 2 จุด ที่มีแขนของจุดหักมุมร่วมกันทำให้สมการจุดประสงค์ มีค่าน้อยที่สุด 
(มากที่สุด)

แล้ว จุดทุกจุดบนแกนของมุมนั้น คือ ค่าน้อยที่สุด(มากที่สุด) ของสมการจุดประสงค์ แสดงว่าคำตอบที่เหมาะสม จะมีจำนวนนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้สมการจุดประสงค์ คือ P = 30x + 50y

และอสมการข้อจำกัด คือ 2x + y ≤ 10

x + 2y ≤ 11

x ≥ 0

y ≥ 0

แล้วจงหาว่า P มีค่ามากที่สุดเป็นเท่าไร

วิธีทำ เขียนกราฟของระบบอสมการข้อจำกัด พร้อมจุดหักมุม

จากรูปจะเห็นได้ว่าจุดหักมุมของรูปสี่เหลี่ยมคือ (0,0) , (0,5.5) , (3,4) และ (5,0) นำจุดหักมุมแทนค่าในจุดประสงค์ ดังตารางต่อไปนี้

จุดหักมุม (x , y)	P = 30x + 50y
(0,0) (0,5.5) (3,4) (5,0)	P = 30(0) + 50(0) = 0 P = 30(0) + 50(5.5) = 275 P = 30(3) + 50(4) = 290 P = 30(5) + 50(0) = 150

ดังนั้น จากตาราง จะพบว่า ค่ามากที่สุดของ P คือ 290 เมื่อ x = 3 และ y = 4

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้สมการจุดประสงค์ คือ P = 4x + 3y

และอสมการข้อจำกัด คือ 2x + 3y ≥ 12

2x + y ≥ 8

x ≥ 0

y ≥ 0

แล้วจงหาว่า P มีค่าน้อยที่สุด เป็นเท่าไร

วิธีทำ เขียนกราฟของระบบอสมการข้อจำกัด พร้อมจุดหักมุม

จากรูปจะเห็นได้ว่าจุดหักมุมของรูปเหลี่ยมคือ (6, 0) (3,2) และ(0,8)นำจุดหักมุมแทนค่าในสมการจุดประสงค์ ดังตารางต่อไปนี้

จุดหักมุม (x , y)	P = 4x + 3y
(6,0) (3,2) (0,8)	P = 4(6) + 3(0) = 24 P = 4(3) + 3(2) = 18 P = 4(0) + 3(8) = 24

ดังนั้น จากตารางจะพบว่า ค่าน้อยที่สุดของ P คือ18 เมื่อ x = 3 และ y = 2

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้สมการจุดประสงค์ คือP = 2x + 3y

และอสมการข้อจำกัด คือ x + y ≥ 4 , 5x + 2y ≤ 25
x ≤ 5 , y ≤ 5
x ≥ 0 , y ≥ 0

แล้วจงหาว่า P มีค่ามากที่สุดเป็นเท่าไร

วิธีทำ เขียนกราฟของระบบอสมการข้อจำกัด พร้อมจุดหักมุม

จากรูปจะเห็นได้ว่า จุดหักมุมของรูปเหลี่ยม คือ (0,4) , (0,5) , (3,5) , (5,0) และ (0,4) นำจุดหักมุมแทนค่าในสมการจุดประสงค์ ดังตารางต่อไปนี้

จุดหักมุม (x , y)	P = 2x + 3y
(0,4) (0,5) (3,5) (5,0) (4,0)	P = 2(0) + 3(4) = 12 P = 2(0) + 3(5) = 15 P = 2(3) + 3(5) = 21 P = 2(5) + 3(0) = 10 P = 2(4) + 3(0) = 8

ดังนั้น จากตารางจะพบว่าค่ามากที่สุดของ P คือ 21 เมื่อ x = 3 และ y = 5

ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้สมการจุดประสงค์ คือ P = x + 4y

และอสมการข้อจำกัด คือ x + 2y ≥ 8

5x + 2y ≥ 20

x + 4y ≤ 22

x ≥ 0 , y ≥ 0

แล้วจงหาว่า P มีค่าน้อยที่สุดและค่ามากที่สุดเป็นเท่าไร

วิธีทำ เขียนกราฟของระบบอสมการข้อจำกัด พร้อมจุดหักมุม

จากรูปจะเห็นได้ว่าจุดหักมุมของรูปสี่เหลี่ยม คือ (3,2.5) , (2,5) , (22,0) และ (8,0)

นำจุดหักมุมแทนค่าในสมการจุดประสงค์ ดังตารางต่อไปนี้

จุดหักมุม (x , y)	P = x + 4y
(3,2.5) (2,5)  (22,0)  (8,0)	P = 3+ 4(2.5) = 13 P = 2+ 4(5) = 22 P = 22+ 4(0) =22 P = 8+ 4(0) = 8

จากตารางจะพบว่า

1. ค่าที่น้อยที่สุดของ P คือ 8 เมื่อ x = 8 และ y = 0

2. ค่ามากที่สุดของ P คือ 22 ณ. จุดหักมุม (2,5) และ (22,0) ซึ่งเป็นจุดหักมุมที่มีแขนของจุดมุมร่วมกัน

ดังนั้น จุดทุกจุดบนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดหักมุม (2,5)และ(22,0)จะทำให้ค่ามากที่สุดของ P คือ 22

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้สมการจุดประสงค์ คือ P = 3x + 2y

และอสมการข้อจำกัด คือ x + y ≤ 4

x + 2y ≥ 10

x ≥ 0

y ≥ 0

แล้วจงหาว่า P มีค่าน้อยที่สุด และค่ามากที่สุดเป็นเท่าไร

วิธีทำ เขียนกราฟของระบบอสมการข้อจำกัด พร้อมจุดหักมุม

จากกราฟจะเห็นได้ว่าไม่มีบริเวณส่วนที่แรเงา แสดงว่า เซตของคำตอบที่เป็นไปได้เป็น ดังนี้

ดังนั้น จึงไม่มีจุดที่เป็นไปได้ ปัญหานี้จึงไม่มีคำตอบ

วิเคราะห์เพิ่มเติม ถ้าเราประยุกต์กำหนดการเชิงเส้นช่วยในการตัดสินใจเกี่ยวกับปัญหาทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจำกัดเพื่อให้เกิดประโยชน์หรือประสิทธิภาพสูงสุดแก่ผู้ทำการตัดสินใจเราถือว่าสถานการณ์แบบนี้
ไม่น่าจะเกิดขึ้น

กำหนดการเชิงเส้น 3

จุดประสงค์การเรียนรู้

             เมื่อศึกษาหน่วยนี้แล้วนักศึกษาควรมีความสามารถในสิ่งต่อไปนี้

              1. นักศึกษาบอกความหมายของกำหนดการเชิงเส้นได้

              2. นักศึกษามีความรู้ความเข้าใจกราฟของสมการและอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

              3. นักศึกษาสามารถหาสมการจุดประสงค์ได้

              4. นักศึกษาสามารถหาอสมการข้อจำกัดได้

              5.  นักศึกษาประยุกต์ใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ โดยใช้กราฟได้

ความหมายของกำหนดการเชิงเส้น

กำหนดการเชิงเส้น (Linear Programming) หมายถึง ในการทำการประกอบกิจการธุรกิจและอุตสาหกรรมตลอดจนทางด้านวิทยาศาสตร์ มีความจำเป็นที่จะต้องตัดสินใจเพื่อที่จะทำได้ปริมาณบางอย่างมีค่ามากที่สุดหรือมีค่าน้อยที่สุด เช่นนำมาใช้ในการจัดสรรทรัพยากร หรือปัจจัยที่มีอย่างจำกัดเพื่อให้เกิดประโยชน์สูงสุดหรือสูญเสียน้อยที่สุดในการดำเนินงาน

ตัวอย่างปัญหากำหนดการเชิงเส้น

1. ผู้ขายสินค้าต้องเลือกชนิดของสินค้าที่จะนำมาขาย เพื่อให้ขายได้ผลกำไรมากที่สุด

2. ผู้จัดรายการโทรทัศน์ต้องการเลือกแบบรายการแสดงเพื่อให้ผู้ชมรายการแสดงมากที่สุด

3. ต้องการจ้างคนงานก่อสร้างเพื่อให้งานเสร็จตามเวลาที่กำหนดในราคาต่ำสุด

ปัญหาต่าง ๆ ตามตัวอย่าง จะมีค่ามากที่สุด หรือ สูงสุด  น้อยที่สุดหรือต่ำสุดอยู่เสมอและมีเงื่อนไขอื่น ๆ ประกอบด้วย เราสามารถที่จะตัดสินใจได้หรือตอบปัญหาเหล่านี้ได้ ก็ต้องกำหนดสมการเชิงเส้น เพื่อช่วยในการแก้ปัญหาเหล่านี้ การกำหนดสมการเชิงเส้นทำได้โดยการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาโดยที่แบบจำลองนั้นจะประกอบด้วย 2 ส่วน

1. สมการจุดประสงค์ (สร้างจากความต้องการที่เกี่ยวกับมากที่สุด น้อยที่สุด)

2. อสมการข้อจำกัด (สร้างจากเงื่อนไขอื่น ๆ ที่เป็นส่วนประกอบเพื่อให้ได้ความต้องการที่เกี่ยวกับมากที่สุด น้อยที่สุด

การหาคำตอบของกำหนดการเชิงเส้น

การหาคำตอบของกำหนดการเชิงเส้น ดำเนินการดังนี้

1.                              นำปัญหามาสร้างแบบจำลองคณิตศาสตร์ ประกอบด้วย

1.1                       สมการจุดประสงค์

1.2                       กลุ่มอสมการเงื่อนไข

1.3                       ตัวแปรทุกตัวมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์

2. เขียนกราฟของอสมการข้อจำกัด ของทุกอสมการ แล้วแรเงา บริเวณที่หาคำตอบได้(feasible region) ได้แก่บริเวณที่ผลลัพธ์ของตัวแปรทั้งสองเป็นคำตอบได้

3. เขียนจุดยอดมุม (extreme points) ของรูปสี่เหลี่ยมที่เกิดจากการแรเงา

4. ตรวจสอบว่าจุดยอดมุมตามข้อ 3 จุดใดที่ให้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ตามที่โจทย์กำหนดโดยการแทนค่าหรือ

5. การตรวจสอบโดยการเลื่อนเส้นตรงที่สร้างจากสมการจุดประสงค์ที่ผ่านจุด (0,0) เข้าไปในบริเวณที่หาคำตอบได้ จุด (x,y) จุดแรกที่พบจะให้ค่าต่ำสุดจุดสุดท้ายของ (x,y) ที่พบจะให้ค่าสูงสุด

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

               ตัวอย่างที่ 1   ในการผลิตสินค้า 2 ชนิด ชนิดที่หนึ่งได้กำไร 5 บาท ต่อชิ้น ชนิดที่สองได้กำไร 7 บาทต่อชิ้น สินค้าชนิดที่หนึ่งต้องใช้เวลาผลิต 3 นาที และใช้วัตถุดิบ 10 หน่วย ชนิดที่สองใช้เวลาผลิต 4 นาที และใช้วัตถุดิบ 8 หน่วย สมมุติว่าโรงงานมีเครื่องจักรที่จำกัด จะผลิตสินค้าทั้งสองชนิดพร้อม ๆ กัน ไม่ได้ และทำการผลิตเพียงวันละ 7 ชั่วโมง มีวัตถุดิบเพียงพอที่จะผลิตได้วันละ 200 หน่วย ถ้าต้องการผลิตให้ได้กำไรมากที่สุด ในแต่ละวัน จงสร้างตัวแบบจำลองทางคณิตศาสตร์กำหนดการเชิงเส้นแทนปัญหาการผลิตสินค้านี้

วิธีทำ

	สินค้าชนิดหนึ่ง	สินค้าชนิดที่สอง
เวลาที่ใช้ผลิตวัตถุดิบ	3 นาที/ชิ้น 10 หน่วย	4 นาที/ชิ้น 8 หน่วย	วันละไม่เกิน7 ชั่วโมง มีไม่เกิน200หน่วย
กำไร	5 บาท	7 บาท

ให้  เป็นจำนวนสินค้าชนิดที่หนึ่งที่ผลิต

ให้ เป็นจำนวนสินค้าชนิดที่สองที่ผลิต

ดังนั้น กำหนดการเชิงเส้น จะมีตัวแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ดังนี้

ให้ค่าสูงสุดของ        P =  5 + 7       (กำไร)

เมื่อ                       3+ 4  420                      (เวลา)

                             10+8 200                      (วัตถุดิบ)   และ      0,   0  

  ตัวอย่างที่  2  จงหาค่าสูงสุดของ P ตามเงื่อนไขที่กำหนดให้

                P     =  4x+5y

                            x+2y   16

                              3x+ y   18

                                                     x   0

                                         y   0

     วิธีทำ

                P     =  4x+5y

                            x+2y   16

                              3x+ y   18

                                                     x   0

                                         y   0

จะได้กราฟของอสมการข้อจำกัดดังนี้ (มีกราฟเป็นรูปสี่เหลี่ยมตามที่แรเงาซึ่งรวมถึงด้านทั้งสี่ด้วย)

หาพิกัดของจุด B ให้  x+2y =  16 ………….(1)

                                     3x+ y =  18 ………….(2)

(1)×3,                        3x+6y = 48 ………….(3)

(3)-(2)                              5y = 30

                                          y =  6

แทนค่า    y =  6 ใน (1)

    x + 12 = 16

   x = 16-12 = 4

              จะได้พิกัดของจุด B คือ (4,6)

ตรวจสอบจุดมุม O,A,B และ C ของ สี่เหลี่ยม OABC เพื่อดูค่า Z

จุดมุม (x, y)	P = 4x +5y
O(0,0) A(6,0) B(4,6) C(0,8)	0 24 46 40

ตัวอย่างที่ 3   ช่างตัดเสื้อมีผ้าไหมสีพื้น 16 เมตร ผ้าไหมลายดอก 15 เมตร และผ้าฝ้าย 11 เมตร ถ้าต้องการนำผ้าไหมและผ้าฝ้ายดังกล่าวมาตัดชุดกลางวันและชุดราตรีโดยชุดกลางวันแต่ละชุดใช้ผ้าไหมสีพื้น2 เมตร ผ้าไหมลายดอก 1 เมตร ผ้าฝ้าย 1 เมตร และขายได้กำไรตัวละ 300 บาท ส่วนชุดราตรีแต่ละชุดใช้ผ้าไหมสีพื้น 1 เมตร ผ้าไหมลายดอก 3 เมตร ผ้าฝ้าย 2 เมตร และขายได้กำไรตัวละ 500 บาท ช่างตัดเสื้อผ้าควรตัดชนิดละกี่ชุด เมื่อขายจะทำให้ได้กำไรมากที่สุดและกำไรมากที่สุดเท่าใด

วิธีทำ    ตัวแปรคือจำนวนชุดกลางวันและชุดราตรี โดยมีผ้าที่จะใช้ตัดให้ได้กำไรที่สุดเป็น

 P บาท โดยชุดกลางวัน x ชุด ตัดชุดราตรี y ชุด

                                             P = 300x+500y

สมการ P = 300x+500y เรียกว่า   “สมการจุดประสงค์”

ตัดชุดกลางวัน x ชุด แต่ละชุดใช้ผ้าไหมสีพื้น 2x เมตร ผ้าไหมลายดอก 1x เมตร ผ้าฝ้าย 1x เมตร

ตัดชุดราตรี y ชุด แต่ละชุดใช้ผ้าไหมสีพื้น 1y เมตร ผ้าไหมลายดอก 3y เมตร ผ้าฝ้าย 2y เมตร

มีผ้าไหมสีพื้น 16 เมตร ผ้าไหมลายดอก 15 เมตร และผ้าฝ้าย 11 เมตร

                             

                                               2x + y    16

                                                       x+ y  15

                                                      x+2y  11

ทั้งนี้ x  0 , y 0    

   อสมการทั้งหมดนี้เรียกว่า “ อสมการข้อจำกัด”   แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับข้อนี้

คือ        P = 300 x+500y

 2x + y    16

                                                                       x+ y  15

                                                                      x+2y  11

                                                                              x  0

y 0

นำอสมการทั้งหมดนี้เขียนกราฟ

จาก P = 300 x+500y

ณ จุด A(0, 0); P = 0                                       ณ จุด B(8, 0); P = 2,400

ณ จุด C(7, 2); P = 3,100                                               ณ จุด D(0, 5.5); P = 2,750

 ค่าสูงสุด = 3,100 ณ จุด C (7,2)

ให้ตัดชุดกลางวัน 7 ชุด

  ตัดชุดราตรี 2 ชุด ได้กำไรมากที่สุด 3,100 บาท

ตัวอย่างที่ 4    เจ้าของกิจการต้องการทำความสะอาดตู้ 5 ตู้ โต๊ะ 12 ตัวและชั้นหนังสือ 18 ชั้น เขามีคนงาน 2 คน คนแรกสามารถทำความสะอาดตู้ได้ 1 ตู้ โต๊ะ 3 ตัว และชั้นหนังสือ 3 ชั้น ภาย ในเวลา 1ชั่วโมง คนที่สองสามารถทำความสะอาดตู้ได้ 1 ตู้ โต๊ะ 2 ตัว และชั้นหนังสือ 6 ชั้น ภาย ในเวลา 1 ชั่วโมง คนแรกได้ค่าแรงชั่วโมงละ 25 บาท คนที่สองได้ค่าแรงชั่วโมงละ 22 บาท เพื่อจะเสียค่าแรงน้อยที่สุดเจ้าของกิจการควรจ้างทำคนละกี่ชั่วโมง

วิธีทำ

ให้คนแรกทำ  x ชั่วโมง

คนที่สองทำ y ชั่วโมง

โดยเสียค่าแรงน้อยที่สุด P บาท

 P = 25x+22y

คนแรกทำ  x ชั่วโมง จะทำความสะอาดตู้ได้ 1x ตู้ โต๊ะ 3x ตัว และชั้นหนังสือ 3x  ชั้น

คนที่สองทำ y ชั่วโมง จะทำความสะอาดตู้ได้ 1y  โต๊ะ 2y ตัว และชั้นหนังสือ 6y   ชั้น

 x + y     5

     3x +2y 12

     3x +6y 18

                                                                             x  0

 y 0

(x, y)	P = 25 x+ 22 y
(0, 6) (2, 3) (4, 1) (6, 0)	132 116 122 150

ค่าต่ำสุด = 116 ณ  B(2,3)               จ้างคนแรกทำงาน   2 ชั่วโมง

                 จ้างคนที่สองทำงาน 3 ชั่วโมง

ตัวอย่างที่  5  ในการผลิตปุ๋ยชนิดหนึ่งต้องการผลิตให้ได้ต้นทุนถูกที่สุด โดยให้ปุ๋ยที่ได้มีแร่ธาตุ N-P-K อย่างน้อย 9,5 และ 6 หน่วย ตามลำดับในปุ๋ย 100 ปอนด์ ของสารอาหาร x และ 100 ปอนด์ของสารอาหาร y ให้แร่ธาตุ  N – P – K  ตามตารางและสมมุติราคาสารอาหาร x และ y เป็น 3 บาทและ5 บาท ต่อ 100 ปอนด์ ตามลำดับ ดังนั้น จะต้องใช้สารอาหาร x  และสารอาหาร y  อย่างละเท่าไร

แร่ธาตุ	น้ำหนัก		จำนวนที่ต้องการอย่างน้อย
	สารอาหาร  x	สารอาหาร  y
N (ไนโตรเจน) P (ฟอสฟอรัส) K (โปตัสเซียม)	1 หน่วย 1 หน่วย 2 หน่วย	3 หน่วย 1หน่วย 1 หน่วย	9 หน่วย 5 หน่วย 6 หน่วย
ราคาสารอาหาร ต่อ 100 ปอนด์	3 บาท	5 บาท

วิธีทำ

   ให้ x แทนจำนวนหน่วยของสารอาหาร x ที่ใช้ในหน่วย 100 ปอนด์ และให้ y แทนจำนวนหน่วยของสารอาหาร y ที่ใช้ในหน่วย 100 ปอนด์ เขียนข้อมูลที่ได้ในตัวแบบกำหนดการเชิงเส้น ได้ดังนี้

ให้ค่าต่ำสุดของ                             C = 3x + 5y

                                                                              x +3y  9

                                                                              x +   Y   5

                                                              2 x +y 6 และ x  0,  y 0

เขียนกราฟแสดงขอบเขตที่เป็นไปได้ ดังต่อไปนี้

      ขอบเขตที่เป็นไปได้ คือส่วนที่แรเงามี A,B,EและF เป็นมุมที่เป็นไปได้จะสามารถแก้สมการหาพิกัดของมุมทั้งสี่ได้อย่างง่าย และหาค่า C = 3x + 5y ที่สอดคล้องกับค่า (x,y) ณ มุมทั้งสี่ที่หาได้ดังตารางต่อไปนี้

มุม	พิกัดของมุมที่เป็นไปได้	ค่า C = 3x + 5y
A B E F	(9,0) (3,2) (1,4) (0,6)	27 19 23 30

ดังนั้นผลเฉลยเหมาะที่สุด คือ ค่า C ต่ำที่สุดอยู่ที่มุม B(3,2) นั่น คือ จะต้องซื้อสารอาหาร x จำนวน 300 ปอนด์ สารอาหาร y จำนวน 200 ปอนด์ และจะเสียค่าใช้จ่ายต่ำสุดเพียง 19 บาท

ข้อสังเกต จากแผนการหาส่วนผสมปุ๋ยตามตัวอย่างนี้  จะพบว่าในส่วนผสมดังกล่าว เราได้ธาตุ N และ P พอดีกับจำนวนขั้นต่ำที่ต้องการ แต่ได้แร่ธาตุ K เพิ่มขึ้นกว่าจำนวนขั้นต่ำถึง 2 หน่วย

ตัวอย่างที่    6  บริษัทผลิตกระดาษโรเนียวแห่งหนึ่ง มีโรงงานผลิตกระดาษ 2  แห่ง แต่ละแห่งผลิตกระดาษที่มีคุณภาพแตกต่างกัน 3 ชนิด คือ ชนิดเลว ปานกลาง และชนิดดี บริษัทต้องการผลิตกระดาษต้องการผลิตกระดาษคุณภาพชนิดเลว 16 ตัน ชนิดปานกลาง  5 ตัน และชนิดดี 20 ตันทั้งนี้ เพราะต้องการผลิตให้พอดีกับปริมาณที่ลูกค้าสั่งซื้อ ค่าใช้จ่ายในการผลิตกระดาษจากโรงงานที่ 1 วันละ 25,000 บาทโรงงานที่ 2 วันละ 50,000 บาท ซึ่งแต่ละโรงงานจะผลิตกระดาษแต่ละวันได้ ดังต่อไปนี้

              โรงงานที่ 1 ผลิตกระดาษคุณภาพชนิดเลวได้ 8 ตัน ปานกลางได้ 1 ตัน และชนิดดีได้ 2 ตัน

              โรงงานที่ 2 ผลิตกระดาษคุณภาพชนิดเลวได้ 2 ตัน ปานกลางได้ 1 ตัน และชนิดดีได้ 7 ตัน

   จงสร้างตัวแบบกำหนดการเชิงเส้นแทนปัญหานี้โดยต้องการหาเวลาการผลิต (หน่วยเป็นวัน) ที่เหมาะสมเพื่อให้ประหยัดค่าใช้จ่ายที่สุด

                   วิธีทำ    สร้างตารางแสดงข้อมูลต่าง ๆ จากโจทย์ ได้ดังต่อไปนี้

	ปริมาณกระดาษที่ผลิตต่อวัน(ตัน)			ค่าใช้จ่ายต่อวัน(บาท)
	ชนิดเลว	ชนิดปานกลาง	ชนิดดี
โรงงาน 1 โรงงาน 2	8 2	1 1	2 7	25,000 50,000
ความต้องการ	16	5	20

ให้ x₁ แทนจำนวนที่ผลิตกระดาษของโรงงานที่ 1

ให้ x₂ แทนจำนวนที่ผลิตกระดาษของโรงงานที่ 2

ดังนั้นตัวแบบกำหนดการเชิงเส้นจะได้ ดังต่อไปนี้

ให้ค่าต่ำสุด P = 25,000 x₁+50,000 x₂                         (ค่าใช้จ่าย)

เมื่อ      8x₁+2x₂  16                                                      (ปริมาณกระดาษชนิดเลว)

x₁+x₂      5                                                      (ปริมาณกระดาษชนิดปานกลาง)

2x₁+7x₂  20                                                     (ปริมาณกระดาษชนิดดี)

x₁ 0, x₂0

เขียนกราฟของเงื่อนไขบังคับได้ดังต่อไปนี้

ขอบเขตที่เป็นไปได้เป็นเซตอนันต์ ซึ่งประกอบด้วยจุดมุมที่เป็นไปได้ต่อไปนี้ (0,8),(1,4),(3,2) และ (10,0)

เปรียบเทียบค่า P ณ จุดมุมทั้งสี่ดังต่อไปนี้

มุม	ค่า P = 25,000 x1+50,000 x2
(0,8) <
กำหนดการเชิงเส้น